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Angewandt wird die Summenbinomialverteilung häufig bei sogenannten Varianztests. Hier will ich ein paar Beispiele für Schüler und Studenten geben.

Beispiel 1:

Ein Artz behauptet, dass 40% aller Patienten mit einem bestimmten Krankheitsbild auf ein neu entwickeltes Medikament positiv ansprechen. Zu diesem Zweck wurde eine Testgruppe aus 27 Personen zusammengestellt. Das Signifikanzniveau soll a = 2% betragen, d.h. seine Nullhypothese "40% sprechen positiv an" darf nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 2% angenommen werden, obwohl sie falsch ist.

Wie müssen die Ergebnisse sein, dass die Nullhypothese angenommen werden darf?

Also:

Nullhypothese : P(A) = 40% ; Alternativhypothese P(A) < 40%

Testumfang n=27 ; Anzahl der Patienten = z

Erwartungswert E = P(A) * n = 0.4*27 = 10.8

a = 0.02=P(not A)= 1- P(z <= k), es wird also jenes k gesucht, welches die beste Näherung ergibt.

SBV1.1

Also werden SBV1.1 folgende Daten gegeben: P(A) = 0.4 ; n = 27 ; x = 0 ; y = 27

Es ergeben sich P(k <= 15) = 0.9663 und P(k <= 16) = 0.9866. Daraus folgt, dass P(k > 16) = 1-0.9886 = 0.0114 = 1.14% < 2%

Ergebnis:

Die Nullhypothese wird abgeleht bei: z = {0...15} und angenommen bei z = {16...27}

Beispiel 2:

Ein Glücksspielautomat gibt dem Spieler eine 49.5%ige Gewinnchance. Der Automat hat eine Lebensdauer von 1500000 Spielen. Wie groß ist die Chance, dass der Hersteller in dieser Zeit Geld verliert?

Also:

Gesucht ist P( k > 750000) = 1 - P( k <= 750000), damit die Wahrscheinlichkeit, dass die Spieler öfter gewinnen, als verlieren.

SBV1.1

Also werden SBV1.1 folgende Daten gegeben: P(A) = 0.49.5 ; n = 1500000 ; x = 0 ; y = 750000

Ergebnis :

P(k < 750000) = 0.9999999999999999999999999999999999145115262380667576912203614757

<=> P(k>750000) = 1- P(k< 750000) = ca. 0.96 * 10^(-36).

Da Casinos weitaus miesere Gewinnchancen bieten, kann man sich vorstellen, dass die NIE verlieren.

Beispiel 3:

Eine Firma bekommt regelmäßig Elektronikbausteine geliefert. Der Hersteller gibt an, dass nur 1% der Teile defekt sein könnten.

a) Bei einer Überprüfung von 1500 Teilen ergeben sich 21 defekte Bausteine, also 1.4% defekte Bauteile. Sollte die Firma den Liefervertrag kündigen?

b) Bei einer Überprüfung von 210 Teilen ergeben sich 3 defekte Bauteile, also 1,4%. Wie sieht es hier aus?

Also:

Nullhypothese P(A) = 0.01 mit Erwartungswert E = 0.01*1500 = 15

gesucht ist P(k <= 15) und 1-P(k<=15)

SBV1.1

wird mit a) n= 1500, P(A) = 0.01, x=0 uind y = 15 gestartet.

Ergebnis:

P(k <= 103) = 0.9478, das heißt:

Die Wahrscheinlichkeit einen Fehler 1. Art zu begehen, also die Lieferung zu beanstanden, obwohl sie korrekt ist, beträgt 1-0.9478 = 5.22%.

Die Wahrscheinlichkeit einen Fehler 2. Art zu begehen, also die Lieferungen anzunehmen, obwohl sie NICHT korrekt ist, beträgt 94.78%.

P(k <= 3) = 0.8395, das heißt:

Die Wahrscheinlichkeit einen Fehler 1. Art zu begehen, also die Lieferung zu beanstanden, obwohl sie korrekt ist, beträgt 1-0.8395 = 16.05%.

Die Wahrscheinlichkeit einen Fehler 2. Art zu begehen, also die Lieferungen anzunehmen, obwohl sie NICHT korrekt ist, beträgt 83.95%.

Beispiel 4:

Die Mathe-Geeks Bob und Uwe spielen Mensch-gräm-dich-nicht. Als Uwe gnadenlos gewinnt, behauptet Bob, dass Uwes Würfel gezinkt sei, da Uwe in 57 getätigten Würfen 23mal die sechs gewürfelt hat.

Uwe behauptet, dass das nur Glück sei. Wie "groß" wäre dieses Glück?

Also:

Nullhypothese P(A) = 1/6

SVB1.1 mit P(A) = 0.1666666666666666 und n = 57.

1-P(k <=23) = 1-0.99999478331= 0,00000521669 oder 1:191692 ....ziemlich "groß", aber nicht unmöglich........

Zusatz Beispiel: Mathematisch besonders ausführlich zum Thema Null-und Alternativ- Hypothese

Uwe spiele gerne "Mensch gräm dich nicht", aber nur so lange er auch gewinnt. Deshalb hat er einen Würfel erworben, bei dem der Hersteller versprach, dass P(6) = 0.5 ist. Uwe will vor seinem ersten Spiel jedoch noch schnell testen, ob es sich nicht doch um einen ordinären Würfel handelt. Er wählt einen Test mit Umfang 20 und einem Signifikanzniveau von 20%.

Welchen Annahmebereich erhält die Nullhypothese H0: P(6) = 0.5 und welche Wahrscheinlichkeit haben Fehler 1. und 2. Art.

Also:

X sei die Anzahl der Sechser und binomialverteilt.

n = 20 sei der Umfang des Tests

S = {0;...;20} sei der Ergebnisraum von X

Es gibt 2 Hypothesen abzuwägen.

1. Nullhypothese H0: P(6) = 0.5 mit dem Erwartungswert E1(x)= 20*0.5 = 10

2. Alternativhypothese mit H1: P(6) = 1/6 mit Erwartungswert E2(X)=20*1/6 ~= 3.3

Ein Signifikanzniveau von 20% bedeutet, dass für den Fehler 1.Art gelten soll a <= 0.2.

Für die Ergebnismenge S = {0;1...;k}{k+1;...;20} gilt also die Bedingung a=SBV(k;20;0.5)<=0.2

Ergebnis:

Aus SBV1.1 mit n=20, P(A) = 0.5 ergibt sich P(k <=7) zu 0.1316 und P(k<=8) = 0.2517. Also wird für k <=7 das Signifikanzniveau kleiner als 20%.

Damit gilt für den Annahmebereich S = {0;1;2;...;7}{8;9;...;20}

Bewertung:

Es gilt also für den Fehler 1.Art "H0 verworfen obwohl richtig" mit n = 20 und P(A)=0.5 : a = P(X<=7) =0.1316

Es gilt für den Fehler 2.Art "H0 als richtig angenommen, obwohl falsch bzw. H1 als falsch angenommen, obwohl richtig" mit n = 20 und P(A) = 1/6 (!!!!) b = P(X>=8) = 1-P(x <= 7) = 1-0.9887=0.0113